Libor Koudela O pojetí křivky

Libor Koudela: O pojetí křivky Libor Koudela: O pojetí křivky vyd. 2013 – vi, 267 s. Z čistě matematického hlediska nic není dnes temnějšího a neurčitějšího než pojem křivky,“ prohlásil roku 1897 slavný německý matematik Felix Klein. Dlouho se zdálo, že pojem křivky je natolik jasný a názorný, že ani nevyžaduje zvláštní definici. Snaha formulovat matematicky přesnou definici křivky však později narazila na nečekané obtíže. Ukázalo se totiž, že „přirozené“ definici vyhovují i objekty, které mají k intuitivní představě křivky velmi daleko. Tato kniha přináší podivuhodnou historii vývoje pojetí křivky v matematice od starověku po současnost a dotýká se závažných otázek po samotné povaze matematických objektů, nekonečna, spojitosti či dimenze a také vztahu logiky a intuice v procesu matematického poznání. Popisuje starověké a středověké pokusy o kvadraturu kruhu chápanou jako transmutace křivočarého obrazce v přímočarý a všímá si podrobně těch aspektů impozantního díla Archimédova, které mají vztah k vývoji pojetí křivky. Zabývá se úsilím o měření délky křivek v souvislosti s vývojem integrálního počtu a teorie míry, od prvních pokusů v 16. a 17. století přes úspěšná stanovení délky logaritmické spirály, cykloidy a semikubické paraboly až po moderní teorii rektifikace a různá pojetí lineární míry. Sleduje zrod matematických monster a proměnu jejich postavení v matematice. Věnuje se vzniku topologie jako samostatné matematické disciplíny a formulování teorie dimenze a kontinua, jež byla předpokladem matematického uchopení pojmu křivky, a rovněž pionýrské roli Bernarda Bolzana při utváření moderní matematiky. Kniha se zabývá i fraktální geometrií, popisuje vlastnosti fraktálních křivek a uvádí jejich známé i méně známé příklady - od proslulé von Kochovy křivky a Sierpińského trojúhelníku po různé exempláře dračích křivek a grafy spojitých nediferencovatelných funkcí. Zvláštní místo je věnováno Bolzanově funkci popsané už ve třicátých letech 19. století, jejíž graf je historicky prvním známým fraktálem. O pojetí křivky Úvod 1 1 Problém rektifikace 11 1.1 Rovné a křivé 12 1.2 Archimédovo měření kruhu 15 1.3 Délka kružnice a mechanické křivky 19 1.4 Geometrické meditace 24 1.5 Pokusy a omyly 29 1.6 První úspěchy 36 1.7 Případ logaritmické spirály 46 1.8 Prestižní záležitost 53 1.9 Geometrické řešení 59 1.10 Přednosti a slabiny „nové metody“ 62 1.11 Duhamelovo pojetí délky křivky 70 1.12 Délka grafu a nespojité funkce 73 2 Křivka jako obraz intervalu 79 2.1 Křivky a funkce 80 2.2 Jordanova definice křivky a Jordanova věta 85 2.3 Cantorův paradox dimenze 89 2.4 Otázka invariance dimenze 91 2.5 Křivky vyplňující prostor 95 2.6 Křivky s nenulovým vnějším obsahem 101 2.7 Význam patologických křivek 107 3 Křivka jako kontinuum 111 3.1 O spojitých veličinách 112 3.2 Bolzanovy geometrické práce 116 3.3 Pojem kontinua v Cantorově teorii 122 3.4 Lineární kontinua 125 3.5 Schoenfliesův Bericht 129 3.6 Ireducibilní a nerozložitelná kontinua 133 3.7 Jordanovy křivky a lokální souvislost 139 3.8 Příklady Janiszewského a Sierpińského 143 3.9 Kompaktnost 149 3.10 Menger--Urysonova teorie 152 4 Délka, míra a dimenze 163 4.1 Délka křivky v Lebesgueově teorii 164 4.2 Singulární funkce 167 {4.3 Lineární míra 171 4.4 Carathéodoryho teorie 176 4.5 Některé další práce o lineární míře 178 4.6 Hausdorffova míra a dimenze 187 4.7 Fraktální dimenze 192 5 Fraktální křivky 197 5.1 Pojem fraktálu a fraktální křivky 198 5.2 Soběpodobné křivky 200 5.3 Hausdorffova vzdálenost 207 5.4 Systémy iterovaných funkcí 209 5.5 Fraktální křivky a funkcionální rovnice 214 5.6 Autoafinní křivky 220 5.7 Bolzanova funkce 223 Závěr 228 Častěji užívané symboly 233 Literatura 235 Rejstřík 251 English summary 262